Kisi-kisi dan Contoh Soal Sidang Komprehensif

Ujian Komprehensif merupakan salah satu tahapan ujian yang wajib diikuti oleh mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Gunung Djati Bandung. Ujian Komprehensif meliputi mata kuliah dasar yang mendukung keprofesionalan dalam bidang Matematika dan menjadi syarat untuk mengikuti sidang Munaqasyah.

Ujian komprehensif dimaksudkan untuk mengukur tingkat penguasaan mahasiswa dalam bidang Matematika serta menilai kemampuan mahasiswa dalam berpikir secara kritis dan interdisipliner. Ujian komprehensif diselenggarakan agar ada standar keilmuan yang dikuasai oleh mahasiswa setelah lulus dari Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Gunung Djati Bandung.

Ada 3 Majlis yang diujikan pada Ujian Komprehensif di Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Gunung Djati Bandung, yaitu:

1. Majlis 1

Majlis 1 merupakan ujian lisan yang bertujuan untuk mengukur dan menilai kemampuan dan penguasaan mahasiswa dalam bidang agama Islam. Materi yang diujikan meliputi materi dasar keislaman diantaranya: Tauhid, Fiqih, Akhlak, Bahasa Arab, Baca Tulis Al-Quran, dan Implementasi Wahyu Memandu Ilmu (WMI).

2. Majlis 2

Majlis 2 merupakan ujian tulis yang dilaksanakan untuk mengukur dan menilai kemampuan penguasaan mahasiswa dalam bidang Matematika. Materi yang diujikan meliputi Mata kuliah pokok Jurusan Matematika yaitu: Kalkulus, Analisis Riil, Dasar-dasar Pemrograman, Aljabar Linier Elementer, Aljabar Abstrak, dan Statistika Dasar.

3. Majlis 3

Majlis 3 adalah ujian lisan yang dilakukan untuk menilai kemampuan mahasiswa dalam bidang Matematika khususnya pada kajian Studi Literatur dan Skripsi.

Kisi-kisi Komprehensif

Kalkulus

Integral

Analisis

Fungsi Kontinu

Aljabar

Homomorfisma Ring

Statistika

Ekspektasi

Algoritma dan Pemrograman

Struktur Dasar Algoritma dan Aplikasinya

Contoh Soal Ujian Komprehensif Jurusan Matematika

Soal berikut merupakan contoh soal ujian tulis pada majlis 2 yang dimaksudkan untuk memberikan gambaran kepada mahasiswa seputar materi yang diujikan. Soal yang diberikan hanya merupakan contoh sampel dari masing-masing Mata Kuliah yang diujikan. Untuk menambah pemahaman lebih mendalam, mahasiswa yang bersangkutan wajib berlatih lebih banyak dan mendalam dari berbagai sumber.

A. Kalkulus

1. Solve $ \left | \frac{x-2}{x+3} \right |< 4 $

2. Solve $ \frac{x+2}{x+4} \leq 3 $

3. Sketsakan grafik fungsi berikut menggunakan konsep kalkulus

$f(x) = \frac{3x^2 - 1}{x}$

Tentukan: (jika ada)

Domain dan range fungsi,
Titik potong,
Kesimetrian,
Interval naik/turun,
Nilai maksimum/minimum,
Interval cekung/cembung,
Titik belok,
Garis asimtot.

4. Sebuah perusahaan ingin membuat desain kotak terbuka yang alasnya persegi dan luas permukaannya 108 $inchi^2$ seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

Berapa ukuran (dimensi) kotak agar volumenya maksimum?

5. Jika diberikan $f(x)=\frac{tan^{2}3t}{2t}$

Tentukan:

$\displaystyle \lim_{t \to 0} f(t)$
Turunan kedua dari $f(t)$

B. Aljabar

1. Tunjukkan apakah himpunan berikut ini merupakan ruang vektor atau bukan. Tuliskan pembuktiannya disertai dengan alasannya.

a. $ ax +b y + cz = 0 $

b. $ (k + m)(x, y, z) = k(x, y, z) + m(x, y, z) $

2. Tentukan apakah $v_1 = (1, 1, 2)$, $v_2 = (1, 0, 1)$, dan $v_3 = (2, 1, 3)$ membangun suatu vektor di $R^3$!

3. Misalkan $v_1 = (1, 2, 1)$, $v_2 = (2, 9, 0)$, dan $v_3 = (3, 3, 4)$. Tunjukkan bahwa $S = {v_1, v_2, v_3}$ merupakan basis bagi $R^3$!

4. Buktikan sembarang subgroup H dari suatu grup abel G adalah normal!

5. Misalkan Z adalah grup dari integer dibawah penjumlahan dan misalkan H adalah subgroup dari Z berisi semua kelipatan 5. Tunjukkan bahwa H adalah suatu subgroup normal dari Z.

6. Misalkan $(G,\cdot)$ grup dengan $a^{2} = e$ untuk setiap $a \in G$. Buktikan $G$ adalah grup abelian.

7. Periksa apakah pemetaan $\Phi : (GL_{2}(\mathbb{R}),\cdot) \rightarrow (\mathbb{R}*,\cdot)$ yang didefinisikan:

$\Phi\left ( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \right ) = ad - bc$

adalah sebuah homomorfisma? Buktikan jawabanmu.

D. Algoritma dan Pemrograman

1. Jelaskan arti dari istilah-istilah berikut:

a. Initial state

b. Input program

c. Debugging

2. Tuliskan tampilan dari potongan algoritma berikut:

$ i\leftarrow 0 $
while $ i < 20 $
if $ (i$ $mod$ $2) = 0 $
output $ ('i$ $ke-'$, $i) $
output $ ('Alhamdulillah') $

3. Jika kita akan membuat program untuk menentukan kelulusan 100 siswa di sekolah ZZ. Kelulusan ditentukan hasil Ujian Akhir 3 Mata Pelajaran: MK Agama, MK Matematika, MK IPS. Siswa dinyatakan lulus jika nilai rata-rata ketiga MK tersebut minimal 60, dan tidak ada MK yang nilainya kurang dari 50. Buatlah algoritma untuk menyelesaikan pekerjaan di atas!

E. Statistika

1. Dari suatu bungkus buah-buahan yang berisi 3 jeruk, 2 mangga, dan 3 pisang dipilih secara acak 4 buah. Bila X menyatakan banyaknya jeruk, dan Y banyaknya mangga dalam sampel tersebut, hitunglah:

a. Distribusi peluang gabungan X dan Y;

b. $ P\left [ (X, Y) \in A \right ] $. bila A daerah $ { (x, y) | x + y \leq 2 } $

F. Analisis

1. Jika fungsi $f$ terdiferensialkan pada selang $I$ dan turunan $f'$ terbatas pada $I$, tunjukkan terdapat konstanta $K$ sehingga $ |f(x) - f(y)| \leq K|x - y| $ untuk setiap $x, y \in I$

2. Diberikan

$f(x)=\left\{\begin{matrix}
-x + 2, & x <0\\
1, & 0 \leq x \leq 2\\
x^2 - 2x + 1, & x > 2
\end{matrix}\right.$

Gambarkan grafik fungsi tersebut.
Selidiki apakah fungsi tersebut kontinu di $x = 0$ dan $x = 2$

3. Apakah fungsi $f(x) = x^{2}$ di $\mathbb{R}$ merupakan fungsi yang kontinu seragam? Jelaskan!

4. Apakah fungsi $f(x) = \frac{1}{x}$ di $[1, \infty)$ merupakan fungsi yang kontinu seragam? Jelaskan!